الكاتب: سارا البريدي

الأستاذ المشرف: أ. فراس عوض

الاثبات الشرطي هو من الاثباتات التي شهدته العالم في عصرنا الحاضر نتيجة ثورة هائلة من التقدم العلمي والتكنولوجي ولا يمكن لأحد أن يتجاهل أثر تطور علوم الرياضيات في هذا التقدم.

من أجل ذلك بدأت كثير من الدول في اجراء تغيرات جذرية في مناهج الرياضيات في جميع مراحل التعليم حتى تتناسب مع ما وصلت اليه علوم الرياضيات من تقدم ملحوظ خلال القرنين التاسع عشر والعشرين ، وقد سارت معظم الدول العربية في هذا الركب وبدأت في تطوير مناهج الرياضيات .

ومن هذه المآثر الجلية ما سجلته التاريخ من بصمات قوية وواضحة لعلماء الرياضيات الذين كان لهم الفضل الكبير في وضع بعض الأسس والقواعد والنظريات والاثباتات لهذا العلم والتي لا زالت تدرس الى اليوم في جامعات الغرب مع نسبتها اليهم أمثال ثابت بن قرة والخوارزمي وغيرهما .

ومن هذه القواعد ما يعرف بالعبارات الشرطة أو الاثبات الشرطي .

  • العبارات الشرطية

هي عبارة مركبة على الصورة ((اذا كان ق فإن ك))

وتكتب عادة على الصورة (( ق  ⃪    ك ))

مثلاً : اذا كانت ق : (الجو ممطر)

                 ،ك : (يجمل طارق المظلة)

  • العبارة المركبة

((اذا كان الجو ماطراً فإن طارق يحمل المظلة))

عبارة شرطية على الصورة : (اذا كان ق فإن ك) أي على الصورة : ((ق  ⃪    ك ))

 : ( متى تكون مثل هذه العبارة الشرطية ق   ⃪    ك صحيحة ومتى تكون خاطئة : )

لنفترض أن رجلاً اعطى وعداً لابنه كالآتي ((إذا نجحت آخر العام بتفوق فسأشتري لك سيارة))

ولنبحث معاً صدق أو كذب هذا الرجل فيما قاله لابنه آخر العام يكون لدينا أحد الحالات الأربع الآتية :

  1. نجح الولد بتفوق واشترى له الوالد سيارة
  2. نجح الولد بتفوق ولم يشتر له الوالد سيارة
  3. لم ينجح الوالد بتفوق واشترى له الوالد سيارة
  4. لم ينجح الولد ولم يشتر له الوالد سيارة

ومن الواضح أن الرجل يكون صادقاً في قوله في جميع هذه الحالات ما عدا الحالة الثانية حيث نجح الوالد فعلاً بتفوق ولكن  الوالد لم يف بوعده له ولم يشتر له السيارة .

ومن الواضح أن نلاحظ أن العبارة الشرطية (ق  ⃪   ك) تكون دائماً صحيحة الا في الحالة التي تكون فيها ق صحيحة و ك خاطئة ، ويمكن تلخيص ذلك في جدل الصحة للعبارة (ق    ⃪     ك)

(جدول صحة العبارة الشرطية)

ق ك ق      ⃪     ك
ص ص ص
ص خ خ
خ ص ص
خ خ ص

العبارة:

عدد زوجي     7 = 2 ك ، ك ∈ط*

7 ليس عدد زوجي أو 7 = 2 ، ك   ∈ ط*

.. نفس العبارة المعطاة هو

7 عدد زوجي و  7 2 ك ، ك ∈  ط*

2 – 3 : عبارات شرطية أخرى :

العبارة ثنائية الشرط هي عبارة على الصورة (اذا كان ق فإن ك واذا كان ك فإن ق) وتكتب أحياناً على الصورة :

(( (ق    ⃪     ك)  (ك    ⃪    ق) )) ، ويرمز عادة لهذه العبارة بالرمز :

((  ق   ⃪    ك )) وتقرأ اختصاراً : ((ق إذا واذا فقط ك))

عكس العبارة الشرطية : ق     ⃪   ك هو العبارة الشرطية : ك   ⃪     ق فمثلاً :

  1. العبارة : اذا كان 3 عدد فردي فإن 3 + 3 عدد فردي

عكسها : اذا كان 3 + 3 عدد فردي فإن 3 عدد فردي

  1. العبارة : اذا كان المثلث متساوي الأضلاع فإنه يكون متساوي الساقين

عكسها : اذا كان المثلث متساوي الساقين فإنه يكون متساوي الأضلاع

ويجب ملاحظة نفي العبارة شيء وعكسها شيء آخر ، وكذلك ينبغي ملاحظة أن صحة العبارة الشرطية لا يؤدي بالضرورة الى صحة عكسها ، فالعبارة الشرطية قد تكون صحيحة ورغم ذلك تكون عكسها إما عبارة صحيحة وإما عبارة خاطئة .

  • صور كتابة العبارة الشرطية

يمكن أن تكتب العبارة الشرطية ((إذا كان ق فإن ك)) بصورة أخرى متكافئة كالتالي :

  • إذا أعطيت ق فإن ك                         – ك إذا ق
  • بفرض ق فإن ك                               – ق شرط كاف لـ ك
  • كلما كانت ق إن ك                            – ك شرط لازم لـ ق

1 – 3 : (أمثلة على العبارات الشرطية) :

مثال 1 : العبارة : اذا كان 1 + 1 = 4 فإن 3 > 5 عبارة صحيحة

           وذلك لأن ق : 1 + 1 = 4  عبارة خاطئة

  ، ك : 3 > 5 خاطئة

العبارة : اذا كان 1 + 1 = 2 فإن 3 > 5 عبارة خاطئة

العبارة: اذا كان 1 + 1 = 4 فإن 3  ≠ 5 عبارة صحيحة

مثال 2:  أثبت أن ق    ⃪     ك (س ق) 7ك مستخدماً جدول الصحة ، ومن ثم أكتب نفي العبارة:

((إذا كان 7 عدد زوجي فإن 7 = 2  ك حيث ك ∈ ط*)

الحل :

ق ك س ق ق    ⃪     ك (س ق) 7ك
ص ص خ ص ص
ص خ خ خ خ
خ ص ص ص ص
خ خ ص ص ص

 

 

مضاد العبارة الشرطية: ق   ⃪     ك هو العبارة الشرطية

(س ك)     (س ق) فمثلاً :

  1. العبارة : اذا كان 2 > 1 فإن 2 + 3 > 1 + 3

المضاد: اذا كان 2 + 3 >  فإن 2 > 1

  1. العبارة : اذا كان المثلث متساوي الأضلاع فإنه يكون متساوي الساقين

المضاد : اذا كان المثلث ليس متساوي الساقين فإنه لا يكون متساوي الأضلاع

  • وهنا نستطيع أن نقول أننا توصلنا الى نقطة هامة تلعب دوراً جوهرياً في مجال دراسة الرياضيات فمثلاً اذا أعطيت العبارة :

ق  ⃪   ك لفرض اثبات صحتها ووجدت صعوبة في ذلك فما عليك إذاً الا ان تحاول إثبات صحة المضاد :  س ك س ق بدلاً من اثبات صحة العبارة الأصلية :

    ق ⃪   ك فهما متكافئتان

المراجع

م1 : دكتور عبد الفتاح الشرقاوي / مفاهيم الرياضيات الحديثة (1) / مكتبة الفلاح (الكويت)

     الطبعة الثالثة / 1408 هـ – 1987م     ص 30 – 36

م2: دكتور معروف عبد الرحمن سمحان / أسس الرياضيات / دار الخريجي للنشر (الرياض)