الكاتب: روزان سمير محمد القضاة

الأستاذ المشرف: أ. فراس عوض

تلعب مشتقات الاقترانات دورا أساسيا في حساب التفاضل والتكامل وتطبيقاتها. على وجه الخصوص، ويمكن استخدامها لدراسة هندسة المنحنيات، وإيجاد القيم المُثلى للاقترانات، وصياغة المعادلات التفاضلية التي توفر نماذج رياضية في مجالات عدة مثل الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا والتمويل.

ظهرت فكرة المشتقة لأول مرة من قبل المحامي والرياضي الشهير بيير دي فيرما (1601-1665) لحل العديد من المسائل مثل العثور على المماس لمنحنى عند نقطة. وبحلول العام 1670 وما بعده، أسس إسحق نيوتن (1642-1727) وغوتفريد لايبنيز (1646-1716) لعلم التفاضل والتكامل الحديث وذلك بإدخال المفاهيم العامة للتفاضل والتكامل وآلية حساب كل منهما خصوصا أن كل منهما عملية معكوسة للأخرى، كما تم وضع نظام ترميز سهل ومبسط لكل منهما وما زال العمل به جارياً حتى وقتنا الحالي.

في علم التفاضل والتكامل، يمكن تعميم مشتقة حاصل الجمع، الضرب، والاقترانات المركبة أو ما يعرف بقاعدة السلسلة، بشكل جيد ومن أي رتبة n  من المشتقات.مشتقة حاصل جمع اقترانين هي الأسهل، حيث إنّ مشتقة  f+g   من أي رتبة n  هي ببساطة حاصل جمع المشتقات من نفس الرتبة، f(n)+g(n) . قاعدة لايبنيز العامة، عبارة عن تعميم للمشتقة من الرتبة n  لحاصل ضرب اقترانين، وتنص على أنه إذا كان كل من الاقترانين f(x)  وg(x)  قابلاً للاشتقاق n   من المرات، فإن حاصل ضربهما fg   عبارة عن اقتران قابل للاشتقاق أيضاً  من المرات، ومشتقته من الرتبة n   تُعطى بالعلاقة:

حيث \frac{n!}{k!(n-k)!} = (\frac{n}{k}) هو معامل ذات الحدّين، و f^{(0)}(x)=f(x)  . فعلى سبيل المثال، فإن المشتقة الأولى لحاصل الضربfg  تُعطى بالعلاقة:


 

المشتقة الثانية (n=2)

يمكن حساب المشتقة الثانية للاقتران f(x)    إذا عُلمت مشتقته الأولى $latex f'(x) $   وذلك باشتقاق المشتقة الأولى للاقتران f(x)    مرة ثانية، أي أن

بما أن (fg)'=f'g+g'f   فإن

وبتطبيق قاعدة لايبنيتز، نجد أن


 

برهان القاعدة

يمكن برهان قاعدة لايبنيز باستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي. لتكن

 

1. القاعدة صحيحة عندما m=1. وذلك لأن

2. نفرض أن القاعدة

صحيحة لأي عدد صحيح m≥1.

3. المطلوب الآن برهان صحة العلاقة لمشتقة من الرتبة (m+1)، وهذا يتم على النحو التالي:


 

تعميم القاعدة لأكثر من اقترانين

لتكن f1. f2. …. fm مجموعة من الاقترانات القابلة للاشتقاق n من المرات، فإن حاصل الضرب f1f2fm قابل للاشتقاق n من المرات، كذلك

حيث

فعلى سبيل المثال، المشتقة الثانية للاقتران g(x)=xe^xsin x  يمكن حسابها باستخدام تعميم قاعدة لايبنيز كما يلي.

المراجع

Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3rd Edition, John Wiley & Sons., Inc 2006.